（本小题满分12分）海安县政府大力扶持大学生开展创业．王强在-优题课

（本小题满分12分）
海安县政府大力扶持大学生开展创业．王强在县政府的扶持下销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设王强每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果王强想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果王强想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

已知函数 $y = \{\begin{matrix} \frac{3}{x}, x ⩽ - 1, \\ 3 x, - 1 < x ⩽ 1, \\ \frac{3}{x}, x ⩾ 1 \cdot \end{matrix}$

（1）画出函数图象；

列表：

$x$	$\dots$	$- 3$								$\dots$
$y$	$\dots$									$. \dots$

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $(x_{2}$ ， $y_{2})$ 是函数图象上的点，若 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，证明： $y_{1} + y_{2} = 0$ ．

如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $CM = 3 m$ ， $CO = 5 m$ ， $DO = 3 m$ ， $∠ AOD = 70 °$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ； $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75)$

实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元） $:$

0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69

0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89

研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：

分组	频数
$0.65 ⩽ x < 0.70$	2
$0.70 ⩽ x < 0.75$	3
$0.75 ⩽ x < 0.80$	1
$0.80 ⩽ x < 0.85$	$a$
$0.85 ⩽ x < 0.90$	4
$0.90 ⩽ x < 0.95$	2
$0.95 ⩽ x < 1.00$	$b$

统计量	平均数	中位数	众数
数值	0.84	$c$	$d$

（1）表格中： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　， $d =$ 　　；

（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；

（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A (1, 0)$ ， $C (0, - 2)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $AC$ 所在直线的表达式；

（2）将 $ΔABC$ 沿 $BC$ 所在直线折叠，得到 $ΔDBC$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，连接 $BP$ ， $ΔBPQ$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $ΔABQ$ 的面积记为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AE$ 是直径，交 $BC$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\hat{AC}$ 上，连接 $AD$ ， $CD$ 过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $BC$ 交 $AF$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 2$ ， $AH = CG = 3$ ，求 $EF$ 和 $CD$ 的长．