（本小题满分10分）已知向量．（1）若,求的值；（2）记，在-优题课

已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} (a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1)$ .

（1）设 $a = 2, b = \frac{1}{2}$ .

①求方程 $f (x) = 2$ 的根;

②若对任意 $x \in R$ , 不等式 $f (2 x) \geq m f (x) - 6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0 < a < 1, b > 1$ , 函数 $g (x) = f (x) - 2$ 有且只有 1 个零点, 求 $ab$ 的值。

如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知以 $M$ 为圆心的圆

$M : x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ 及其上一点 $A (2, 4)$

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切, 与圆 $M$ 外切, 且圆心 $N$ 在直线 $x = 6$ 上, 求圆 $N$ 的标准方程;

(2) 设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B, C$ 两点, 且 $BC = OA$ , 求直线 $l$ 的方程;

(3) 设点 $T (t, 0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$ , 使得 $\vec{TA} + \vec{TP} = \vec{TQ}$ , 求实数 $t$ 的取值范围。

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱雉 $P - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ,下部分的形状是正四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $P O_{1}$ 的四倍.

(1)若 $AB = 6 m ， {PO}_{1} = 2 m$ ,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱柱的侧棱长为 $6 m$ ，则当 $P O_{1}$ 为多少时,仓库的容积最大？

如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别为 $AB ， BC$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_{1} B$ 上, 且 $B_{1} D ⊥ A_{1} F ， A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} B_{1} 。$

求证:（1）直线 $DE / /$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ ；

(2) 平面 $B_{1} DE ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ ；

$在 △ ABC 中, AC = 6, \cos B = \frac{4}{5}, C = \frac{π}{4} .$

(1) 求 $AB$ 的长;

$(2) 求 \cos (A - \frac{π}{6}) 的值$ ；