因式分解：①②-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $D$ 在 $AB$ 的延长线上，且 $∠ BCD = ∠ A$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3， $CD = 4$ ，求 $BD$ 的长．

我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮 $+$ 住宿），一年时间就收回投资的 $80 %$ ，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．

（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？

（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有 $10 %$ 的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？

垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．

运动员甲测试成绩表

测试序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩（分 $)$	7	6	8	7	7	5	8	7	8	7

（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；

（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 0.8$ 、 $S_{乙}^{2} = 0.4$ 、 $S_{丙}^{2} = 0.8)$

（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）

如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形， $F$ 是 $CD$ 的中点，连接 $AF$ 并延长与 $BC$ 的延长线交于点 $E$ ．求证： $BC = CE$ ．

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P$ 为 $AB$ 延长线上的一点， $PC$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $AD ⊥ PC$ ，垂足为 $D$ ，弦 $CE$ 平分 $∠ ACB$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $∠ CAB = ∠ CAD$ ；

（2）求证： $PC = PF$ ；

（3）若 $\tan ∠ ABC = \frac{3}{2}$ ， $AE = 5 \sqrt{2}$ ，求线段 $PC$ 的长．