已知抛物线经过点A（，0）、B（m，0）（m<0），且与y轴-优题课

已知抛物线经过点A（，0）、B（m，0）（m>0），且与y轴交于点C．

⑴求a、b的值（用含m的式子表示）
⑵如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；
⑶在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与相似，求m的值

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + (b - 2) x + (c - 2020) (b$ ， $c$ 为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为 $(1, 1)$ ，求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 $c$ 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数 $m$ ， $n (m < n)$ ，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时，恰好 $\frac{m}{2 m + 1} ⩽ \frac{1}{y + 2} ⩽ \frac{n}{2 n + 1}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写"真"或"假" $)$ ．

①四条边成比例的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

③两个大小不同的正方形相似． $($ 　　命题）

（2）如图1，在四边形 $ABCD$ 和四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ ABC = ∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ BCD = ∠ B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $\frac{AB}{A_{1} B_{1}} = \frac{BC}{B_{1} C_{1}} = \frac{CD}{C_{1} D_{1}}$ ．求证：四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相似．

（3）如图2，四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $EF / / AB$ 分别交 $AD$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ．记四边形 $ABFE$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $EFCD$ 的面积为 $S_{2}$ ，若四边形 $ABFE$ 与四边形 $EFCD$ 相似，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值．

近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

如图，正方形 $ABCD$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AD$ ， $CD$ 上，且 $DE = CF$ ， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $G$ ．

（1）求证： $BE = AF$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $DE = 1$ ，求 $AG$ 的长．

某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

等级	频数	频率
优秀	21	$42 %$
良好	$m$	$40 %$
合格	6	$n %$
待合格	3	$6 %$

（1）本次调查随机抽取了　　名学生；表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．