先化简，再求值：,其中-优题课

已知：如图， $AB$ 、 $AC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $AB = AC$ ， $D$ 是 $AO$ 延长线上一点，联结 $BD$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，联结 $CD$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BD = CD$ ；

（2）如果 $A B^{2} = AO \cdot AD$ ，求证：四边形 $ABDC$ 是菱形．

图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 $ABCD$ 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 $ADE$ 可以绕点 $A$ 逆时针方向旋转，当旋转角为 $60 °$ 时，箱盖 $ADE$ 落在 $AD' E'$ 的位置（如图2所示）．已知 $AD = 90$ 厘米， $DE = 30$ 厘米， $EC = 40$ 厘米．

（1）求点 $D'$ 到 $BC$ 的距离；

（2）求 $E$ 、 $E'$ 两点的距离．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图），已知一次函数的图象平行于直线 $y = \frac{1}{2} x$ ，且经过点 $A (2, 3)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设点 $C$ 在 $y$ 轴上，当 $AC = BC$ 时，求点 $C$ 的坐标．

已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 2$ ，弦 $AC$ 与弦 $BD$ 交于点 $E$ ．且 $OD ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）如图1，如果 $AC = BD$ ，求弦 $AC$ 的长；

（2）如图2，如果 $E$ 为弦 $BD$ 的中点，求 $∠ ABD$ 的余切值；

（3）联结 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ ，如果 $BC$ 是 $⊙ O$ 的内接正 $n$ 边形的一边， $CD$ 是 $⊙ O$ 的内接正 $(n + 4)$ 边形的一边，求 $ΔACD$ 的面积．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图）．已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (0, \frac{5}{2})$ ，顶点为 $C$ ，点 $D$ 在其对称轴上且位于点 $C$ 下方，将线段 $DC$ 绕点 $D$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，点 $C$ 落在抛物线上的点 $P$ 处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段 $CD$ 的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点 $C$ 移到原点 $O$ 的位置，这时点 $P$ 落在点 $E$ 的位置，如果点 $M$ 在 $y$ 轴上，且以 $O$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $M$ 为顶点的四边形面积为8，求点 $M$ 的坐标．