本题满分13分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本2-优题课

题文

本题满分13分）
某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为元（为常数，且，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为元（），根据市场调查，销售量与成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤.
（Ⅰ）求该工厂的每日利润元与每公斤蘑菇的出厂价元的函数关系式；
（Ⅱ）若，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的利润最大，并求最大值.

科目数学题型解答题难度中等

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某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ．

（1）求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ， $S_{1}^{2}$ ， $S_{2}^{2}$ ；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y} - \bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

已知函数 $\frac{|OB|}{|OA|} = \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{1}{4} \times 2 sin α (\sqrt{3} cos α + sin α) = \frac{1}{4} [2sin (2 α - \frac{π}{6}) + 1]$ ．

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集;

（2）若 $f (x) > - a$ ，求 a的取值范围．

在直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ C$ 的圆心为，半径为1．

（1）写出 $⊙ C$ 的一个参数方程;

（2）过点 $F (4, 1)$ 作 $⊙ C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知抛物线 $C : x^{2} = 2 py (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M : x^{2} + (y + 4)^{2} = 1$ 上点的距离的最小值为 $4$ ．

（1）求 $p$ ；

（2）若点 $P$ 在 $M$ 上， $PA, PB$ 是 $C$ 的两条切线， $A, B$ 是切点，求 $△ PAB$ 面积的最大值．

设函数 $f (x) = \ln (a - x)$ ，已知 $x = 0$ 是函数 $y = xf (x)$ 的极值点．

（1）求a；

（2）设函数 $g (x) = \frac{x + f (x)}{xf (x)}$ ．证明: $g (x) < 1$ ．

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