《几何证明选讲》选做题：如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作-优题课

题文

《几何证明选讲》选做题：
如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，则线段的长为　　　．

科目数学题型解答题难度中等

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如图：为保护河上古桥 $O A$ ，规划建一座新桥 $B C$ ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥 $B C$ 与河岸 $A B$ 垂直；保护区的边界为圆心 $M$ 在线段 $O A$ 上并与 $B C$ 相切的圆，且古桥两端 $O$ 和 $A$ 到该圆上任一点的距离均不少于 $80 m$ ，经测量，点 $A$ 位于点 $O$ 正北方向 $60 m$ 处，点 $C$ 位于点 $O$ 正东方向 $170 m$ 处，（ $O C$ 为河岸）， $\tan ∠ B C O = \frac{4}{3}$ .

（1）求新桥 $B C$ 的长；
（2）当 $O M$ 多长时，圆形保护区的面积最大？

如图在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，顶点 $B$ 的坐标是 $(0, b)$ ，连接 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连接 $F_{1} C$ .

（1）若点 $C$ 的坐标为 $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ，且 $B F_{2} = \sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C ⊥ A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值.

如图在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D, E, F$ 分别为棱 $P C, A C, A B$ 的中点，已知 $P A ⊥ A C, P A = 6, B C = 8, D F = 5$ .

求证：

（1）直线 $P A / /$ 平面 $D E F$ ；
（2）平面 $B D E$ $⊥$ 平面 $A B C$ .

已知 $α \in (\frac{π}{2}, π), \sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（1）求 $\sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；
（2）求 $\cos (\frac{5 π}{6} - 2 α)$

若 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{a b}$ .
（Ⅰ）求 $a^{3} + b^{3}$ 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 $a, b$ ,使得 $2 a + 3 b = 6$ ？并说明理由.

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