(本小题满分12分)已知数列中,
,且当
时,
.
(Ⅰ)求证:数列为等比数列.
(Ⅱ)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(本小题满分12分)已知一个空间几何体的直观图和三视图(尺寸如图所示).
(Ⅰ)设点为棱
中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
?若存在,试确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)调查表明,中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为,并对它们进行量化:0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意,再用综合指标
的值评定中年人的成就感等级:若
,则成就感为一级;若
,则成就感为二级;若
,则成就感为三级.为了了解目前某群体中年人的成就感情况,研究人员随机采访了该群体的10名中年人,得到如下结果:
人员编号 |
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人员编号 |
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(Ⅰ)在这10名被采访者中任取两人,求这两人的职业满意度指标相同的概率;
(Ⅱ)从成就感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,从成就感等
级不是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,记随机变量
,求
的分布列及其数学期望.
(本小题满分12分)已知函数的图象与直线
的相邻两个交点之间的距离为
.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设的内角
所对的边分别是
.若
,求角
的大小.
(本小题满分14分)已知函数(
为自然对数的底数),曲线
在
处的切线与直线
互相垂直.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若对任意,
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)设,
.问:是否存在正常数
,对任意给定的正整数
,都有
成立?若存在,求
的最小值;若不存在,请说明理由.