已知数列（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前n项和-优题课

题文

已知数列
（1）求数列的通项公式；
（2）令求数列的前n项和

科目数学题型解答题难度中等

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 记 $η = (a x_{1} + b y_{1} + c) (a x_{2} + b y_{2} + c)$ 若 $η < 0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.
(1)求证：点 $A (1, 2), B (- 1, 0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔；

(2)若直线 $y = k x$ 是曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；
(3)动点 $M$ 到点 $Q (0, 2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为1，设点 $M$ 的轨迹为 $E$ ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线.

如图,某公司要在 $A$ 、 $B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ,其中 $D$ 为顶端, $A C$ 长35米, $C B$ 长80米,设 $A$ 、 $B$ 在同一水平面上,从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $α 和 β$ .

（1）设计中 $C D$ 是铅垂方向,若要求 $α \geq 2 β$ ,问 $C D$ 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后 $C D$ 与铅垂方向有偏差，现在实测得 $α = 38 . 12^{°}, β = 18 . 45^{°}$ ,求 $C D$ 的长（结果精确到0.01米）？

设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ .
（1）若 $a = 4$ ，求函数 $y = f (x)$ 的反函数 $y = f^{- 1} (x)$ ；
（2）根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

底面边长为2的正三棱锥 $P - A B C$ ,其表面展开图是三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ ，如图，求 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$ .

设函数 $f (x) = \ln (1 + x), g (x) = x f ` (x), x \geq 0$ ，其中 $f ` (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.
$g_{1} (x) = g (x), g_{n + 1} (x) = g (g_{n} (x)), n \in N_{+}$ ，
(1)求 $g_{n} (x)$ 的表达式；
(2)若 $f (x) \geq a g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
(3)设 $n \in N_{+}$ ，比较 $g (1) + g (2) + \dots + g (n)$ 与 $n - f (n)$ 的大小，并加以证明.

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