已知数列
的各项均为正数，
是数列的前n项和，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）
的值．
已知
、
、
为正实数，
．
（1）当、、为
的三边长，且、、所对的角分别为
、
、
．若
，且
．求的长；
（2）若
．试证明长为、、的线段能构成三角形，而且边的对角为
．
对于函数
，若在定义域存在实数
，满足
，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数
，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设
是定义在
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围．
设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为
的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？
设等差数列
的公差为
，且
．若设
是从
开始的前
项数列的和，即
，
，如此下去，其中数列
是从第
开始到第
)项为止的数列的和，即
．
(1)若数列
,试找出一组满足条件的
,使得： 
；
(2)试证明对于数列
，一定可通过适当的划分，使所得的数列
中的各数都为平方数；
(3)若等差数列中
．试探索该数列中是否存在无穷整数数列
,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．
已知抛物线
．
(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线
相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
(2)抛物线的焦点为
,若过点的直线与抛物线相交于
两点,若
,求直线
的斜率；
(3)若过
正半轴上
点的直线与该抛物线交于两点,
为抛物线上异于的任意一点,记
连线的斜率为
试求满足
成等差数列的充要条件．