：已知矩阵,A的一个特征值，其对应的特征向量是.（Ⅰ）求矩阵-优题课

：已知矩阵 ,A的一个特征值，其对应的特征向量是.
（Ⅰ）求矩阵；
（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程

科目数学题型解答题难度中等

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\tan (\frac{π}{4} + A) = 2$ .
（1）求 $\frac{\sin 2 A}{\sin 2 A + \cos^{2} A}$ 的值；
（2）若 $B = \frac{π}{4}, a = 3$ ,求 $△ A B C$ 的面积.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ =且 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n}^{2} (n \in N *)$
（1）证明： $1 \leq \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} \leq 2 (n \in N *)$ ；
（2）设数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明 $\frac{1}{2 (n + 2)} \leq \frac{S_{n}}{n} \leq \frac{1}{2 (n + 1)} (n \in N *)$

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上两个不同的点 $A, B$ 关于直线 $y = m x + \frac{1}{2}$ 对称．

（1）求实数 $m$ 的取值范围；
（2）求 $△ A O B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）．

已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，记 $M (a, b)$ 是 $|f (x)|$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值.
（1）证明：当 $|a| \geq 2$ 时， $M (a, b) \geq 2$ ；
（2）当 $a$ , $b$ 满足 $M (a, b) \leq 2$ ，求 $|a| + |b|$ 的最大值.

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ -中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A_{1} A = 4$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

（1）证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；
（2）求二面角 $A_{1} - B D - B_{1}$ 的平面角的余弦值.

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