（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，直线经过⊙上-优题课

已知函数 $f (x) = ax - {(\ln x)}^{2}$

（1） $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2） $f (x)$ 有 $3$ 个零点， $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ .

（i）求 $a$ 的取值范围；

（ii）证明 $(\ln x_{2} - \ln x_{1}) \cdot \ln x_{3} < \frac{4e}{e - 1}$ ．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ．

（1）求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（2） $\forall n \in N^{*}$ ， $I \in \{0, 1\}$ ，有 $T_{n} = \{p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + . . . + p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} | p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n - 1}, p_{n} \in I\}$ ，

（i）求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ;

（ii）求 $T_{n}$ 所有元素之和．

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ， $P$ 为 $x = a$ 上一点，且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ ， $△ PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$ （异于点 $A$ ），求证： $P F$ 平分 $∠ AFB$ .

正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ， $E 、 F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点， $CG = 3 G C_{1}$ ．

（1）求证： $GF ⊥$ 平面 $FBE$ ；

（2）求平面 $FBE$ 与平面 $EBG$ 夹角的余弦值；

（3）求三棱锥 $D - FBE$ 的体积．

在 $△ ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $c - 2 b = 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ．

（1）求 $A$ 的值；

（2）求 $c$ 的值；

（3）求 $\sin (A + 2 B)$ 的值．