(本小题满分12分)
某班t名学生在2011年某次数学测试中,成绩全部介于80分与130分之间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组[80,90);第二组[90,100)…第五组
[120,130],下表是按上述分组方法得到的频率分布表:
分组 |
频数 |
频率 |
[80,90) |
x |
0.04 |
![]() |
9 |
y |
[100,110) |
z |
0.38 |
[110,120) |
17 |
0.34 |
[120,130] |
3 |
0.06 |
(Ⅰ) 求t及分布表中x,y,z的值;
(Ⅱ)设m,n是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩,求事件
“|m—n|≤10”的概率.
曲线的参数方程为
(其中
为参数),M是曲线
上的动点,且M是线段OP的中点,P点的轨迹为曲线
,直线l的方程为
,直线l与曲线
交于A,B两点。
(1)求曲线的普通方程;
(2)求线段AB的长。
已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量
,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4)。
(1)求矩阵M及其矩阵M的另一个特征值;
(2)求直线在矩阵M的作用下的直线
的方程。
对于数列,如果存在一个正整数
,使得对任意的
(
)都有
成立,那么就把这样一类数列
称作周期为
的周期数列,
的最小值称作数列
的最小正周期,以下简称周期.例如当
时
是周期为
的周期数列,当
时
是周期为
的周期数列.
(1)设数列满足
(
),
(
不同时为0),求证:数列
是周期为
的周期数列,并求数列
的前2012项的和
;
(2)设数列的前
项和为
,且
.
①若,试判断数列
是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断数列
是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足
(
),
,
,数列
的前
项和为
,试问是否存在实数
,使对任意的
都有
成立,若存在,求出
的取值范围
;不存在,说明理由.
(本小题满分16分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,其值域为
.
(1) 试求a、b的值;
(2) 函数y=g(x)(x∈R)满足:
条件1: 当x∈[0,3)时,g(x)=f(x);条件2: g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
① 求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式;
② 若函数g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,试探求m的取值范围,并说明理由.
(本小题满分16分)已知椭圆中心为
,右顶点为
,过定点
作
直线
交椭圆于
、
两点.
(1)若直线与
轴垂直,求三角形
面积的最大值;
(2)若,直线
的斜率为
,求证:
;
(3)在轴上,是否存在一点
,使直线
和
的斜率的乘积为非零常数?若存在,求出点
的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.