（本小题满分10分）求下列函数的导数：（1）（2）-优题课

已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$

（1）求 A ²；

（2）求矩阵 A的特征值.

定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".

（1）已知等比数列{ a _n} $(n \in N^{*})$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5}, a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{4} = 0$ ，求证:数列{ a _n}为"M－数列"；

（2）已知数列{ b _n}满足: $b_{1} = 1, \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{b_{n}} - \frac{2}{b_{n + 1}}$ ，其中 S _n为数列{ b _n}的前 n项和．

①求数列{ b _n}的通项公式；

②设 m为正整数，若存在"M－数列"{ c _n} $(n \in N^{*})$ ，对任意正整数 k ，当 k≤ m时，都有 $c_{k} ⩽ b_{k} ⩽ c_{k + 1}$ 成立，求 m的最大值．

设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c), a, b, c \in R$ 、 $f' (x)$ 为f（x）的导函数．

（1）若 a= b= c ， f（4）=8，求 a的值；

（2）若 a≠ b ， b= c ，且 f（ x）和 $f' (x)$ 的零点均在集合 ${- 3, 1, 3}$ 中，求 f（ x）的极小值；

（3）若 $a = 0, 0 < b ⩽ 1, c = 1$ ，且 f（ x）的极大值为 M，求证: M≤ $\frac{4}{27}$ ．

如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q ，并修建两段直线型道路PB、QA ．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为F ₁（-1、0），F ₂（1，0）．过F ₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F ₂: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 a^{2}$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF ₁并延长交圆F ₂于点B ，连结BF ₂交椭圆C于点E ，连结DF ₁．已知DF ₁= $\frac{5}{2}$ ．

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）求点 E的坐标．