斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交-优题课

题文

斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，求双曲线的离心率的取值范围

科目数学题型解答题难度较易

知识点：参数方程

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如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $\frac{|F_{1} F_{2}|}{|D F_{1}|} = 2 \sqrt{2}$ ， $△ D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2, ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M = \frac{1}{2}$ .
（1）证明： $B C ⊥$ 平面 $P O M$ ；
（2）若 $M P ⊥ A P$ ，求四棱锥 $P - A B M O$ 的体积.

已知函数 $f (x) = \frac{x}{4} + \frac{a}{x} - \ln x - \frac{3}{2}$ ，其中 $a \in R$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线垂直于 $y = \frac{1}{2} x$ .
（1）求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a + b + c = 8$ .

（1）若 $a = 2, b = \frac{5}{2}$ ，求 $c o o s C$ 的值;
（2）若 $\sin A \cos^{2} \frac{B}{2} + \sin B \cos^{2} \frac{A}{2} = 2 \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{9}{2} \sin C$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值.

20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：

（1）求频率分布直方图中 $a$ 的值；
（2）分别球出成绩落在 $[50, 60)$ 与 $[60, 70)$ 中的学生人数；
（3）从成绩在 $[50, 70)$ 的学生中人选2人，求此2人的成绩都在 $[60, 70)$ 中的概率.

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