计算：．-优题课

解不等式 $\{\begin{matrix} x + 2 ⩽ 6, ① \\ 3 x - 2 ⩾ 2 x, ② \end{matrix}$ ，请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

综合与探究

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 6$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线上一个动点，设点 $D$ 的横坐标为 $m (1 < m < 4)$ ．连接 $AC$ ， $BC$ ， $DB$ ， $DC$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2） $ΔBCD$ 的面积等于 $ΔAOC$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$ 是 $x$ 轴上一动点，点 $N$ 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$ ，使得以点 $B$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点 $C$ 的直线折叠，使点 $B$ ，点 $D$ 都落在对角线 $AC$ 上．此时，点 $B$ 与点 $D$ 重合，记为点 $N$ ，且点 $E$ ，点 $N$ ，点 $F$ 三点在同一条直线上，折痕分别为 $CE$ ， $CF$ ．如图2．

第二步：再沿 $AC$ 所在的直线折叠， $ΔACE$ 与 $ΔACF$ 重合，得到图3．

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点 $C$ 与点 $F$ 重合，如图4，展开铺平，连接 $EF$ ， $FG$ ， $GM$ ， $ME$ ．如图5，图中的虚线为折痕．

问题解决：

（1）在图5中， $∠ BEC$ 的度数是　　， $\frac{AE}{BE}$ 的值是　　．

（2）在图5中，请判断四边形 $EMGF$ 的形状，并说明理由；

（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：　　．

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德 $\cdot$ 欧拉 $(LeonhardEuler)$ 是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在 $ΔABC$ 中， $R$ 和 $r$ 分别为外接圆和内切圆的半径， $O$ 和 $I$ 分别为其中外心和内心，则 $O I^{2} = R^{2} - 2 Rr$ ．

如图1， $⊙ O$ 和 $⊙ I$ 分别是 $ΔABC$ 的外接圆和内切圆， $⊙ I$ 与 $AB$ 相切分于点 $F$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $R$ ， $⊙ I$ 的半径为 $r$ ，外心 $O$ （三角形三边垂直平分线的交点）与内心 $I$ （三角形三条角平分线的交点）之间的距离 $OI = d$ ，则有 $d^{2} = R^{2} - 2 Rr$ ．

下面是该定理的证明过程（部分） $:$

延长 $AI$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $I$ 作 $⊙ O$ 的直径 $MN$ ，连接 $DM$ ， $AN$ ．

$∵ ∠ D = ∠ N$ ， $∠ DMI = ∠ NAI$ （同弧所对的圆周角相等）．

$∴ ΔMDI ∽ ΔANI$ ． $∴ \frac{IM}{IA} = \frac{ID}{IN}$ ， $∴ IA \cdot ID = IM \cdot IN$ ，①

如图2，在图1（隐去 $MD$ ， $AN)$ 的基础上作 $⊙ O$ 的直径 $DE$ ，连接 $BE$ ， $BD$ ， $BI$ ， $IF$ ．

$∵ DE$ 是 $⊙ O$ 的直径，所以 $∠ DBE = 90 °$ ．

$∵ ⊙ I$ 与 $AB$ 相切于点 $F$ ，所以 $∠ AFI = 90 °$ ，

$∴ ∠ DBE = ∠ IFA$ ．

$∵ ∠ BAD = ∠ E$ （同弧所对的圆周角相等），

$∴ ΔAIF ∽ ΔEDB$ ，

$∴ \frac{IA}{DE} = \frac{IF}{BD}$ ．

$∴ IA \cdot BD = DE \cdot IF$ ②

任务：（1）观察发现： $IM = R + d$ ， $IN =$ 　 $R - d$ 　（用含 $R$ ， $d$ 的代数式表示）；

（2）请判断 $BD$ 和 $ID$ 的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若 $ΔABC$ 的外接圆的半径为 $5 cm$ ，内切圆的半径为 $2 cm$ ，则 $ΔABC$ 的外心与内心之间的距离为　　 $cm$ ．

某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

课题	测量旗杆的高度
成员	组长： $xxx$ 组员： $xxx$ ， $xxx$ ， $xxx$
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图		说明：线段 $GH$ 表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度 $AC = BD = 1.5 m$ ，测点 $A$ ， $B$ 与 $H$ 在同一条水平直线上， $A$ ， $B$ 之间的距离可以直接测得，且点 $G$ ， $H$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一竖直平面内，点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上，点 $E$ 在 $GH$ 上．
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	$∠ GCE$ 的度数	$25.6 °$	$25.8 °$	$25.7 °$
	$∠ GDE$ 的度数	$31.2 °$	$30.8 °$	$31 °$
	$A$ ， $B$ 之间的距离	$5.4 m$	$5.6 m$
$\dots$	$\dots$

任务一：两次测量 $A$ ， $B$ 之间的距离的平均值是　　 $m$ ．

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 $GH$ 的高度．

（参考数据： $\sin 25.7 ° \approx 0.43$ ， $\cos 25.7 ° \approx 0.90$ ， $\tan 25.7 ° \approx 0.48$ ， $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60)$

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）