如图，等腰梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，点E、F在-优题课

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，连接对角线 $AC$ ，延长 $AB$ 至点 $E$ ，使 $BE = AB$ ，连接 $DE$ ，分别交 $BC$ ， $AC$ 交于点 $F$ ， $G$ ．

（1）求证： $BF = CF$ ；

（2）若 $BC = 6$ ， $DG = 4$ ，求 $FG$ 的长．

先化简，再求值： $(\frac{2 x - 3}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．

计算： ${(3.14 - π)}^{0} + | \sqrt{2} - 1 | - 2 \cos 45 ° + {(- 1)}^{2019}$ ．

如图1， $ΔAOB$ 的三个顶点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 分别落在抛物线 $F_{1} : y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{7}{3} x$ 的图象上，点 $A$ 的横坐标为 $- 4$ ，点 $B$ 的纵坐标为 $- 2$ ．（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）

（1）求点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2）将 $ΔAOB$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到△ $A^{'} O B^{'}$ ，抛物线 $F_{2} : y = a x^{2} + bx + 4$ 经过 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 两点，已知点 $M$ 为抛物线 $F_{2}$ 的对称轴上一定点，且点 $A^{'}$ 恰好在以 $OM$ 为直径的圆上，连接 $OM$ 、 $A^{'} M$ ，求△ $O A^{'} M$ 的面积；

（3）如图2，延长 $O B^{'}$ 交抛物线 $F_{2}$ 于点 $C$ ，连接 $A^{'} C$ ，在坐标轴上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $O$ 、 $D$ 为顶点的三角形与△ $O A^{'} C$ 相似．若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

操作体验：如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $AD$ 、 $BC$ 上，将矩形 $ABCD$ 沿直线 $EF$ 折叠，使点 $D$ 恰好与点 $B$ 重合，点 $C$ 落在点 $C'$ 处．点 $P$ 为直线 $EF$ 上一动点（不与 $E$ 、 $F$ 重合），过点 $P$ 分别作直线 $BE$ 、 $BF$ 的垂线，垂足分别为点 $M$ 和 $N$ ，以 $PM$ 、 $PN$ 为邻边构造平行四边形 $PMQN$ ．

（1）如图1，求证： $BE = BF$ ；

（2）特例感知：如图2，若 $DE = 5$ ， $CF = 2$ ，当点 $P$ 在线段 $EF$ 上运动时，求平行四边形 $PMQN$ 的周长；

（3）类比探究：若 $DE = a$ ， $CF = b$ ．

①如图3，当点 $P$ 在线段 $EF$ 的延长线上运动时，试用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示 $QM$ 与 $QN$ 之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点 $P$ 在线段 $FE$ 的延长线上运动时，请直接用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示 $QM$ 与 $QN$ 之间的数量关系．（不要求写证明过程）