（本小题满分14分）
如图，线段MN的两个端点M．N分别在x轴．y 轴上滑动，
，点P是线段MN上一点，且
，点P随线段MN的运动而变化.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线
，与曲线C交于A．B两点，O是坐标原点，设
是否存在这样的直线，使四边形
的对角线相等（即
）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金
（单位：万元）随投资收益
（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数
模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数
模型的基本要求，并分析函数
是否符合这个要求，并说明原因；
（2）若该公司采用函数
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数
的值．
已知函数
．
（1）求函数
的最小正周期；
（2）当
时，求函数的最大值，最小值．
记函数
的定义域为
，
的定义域为
．若
，求实数
的取值范围．
已知
为实数，数列
满足
，当
时，
，
（Ⅰ）
；(5分)
（Ⅱ）证明：对于数列，一定存在
，使
；(5分)
（Ⅲ）令
，当
时，求证：
(6分)
已知函数
，
，(其中
)，设
.
（Ⅰ）当
时,试将
表示成
的函数
,并探究函数是否有极值；
（Ⅱ）当
时，若存在
，使
成立，试求
的范围.