（设函数⑴若时，解不等式；⑵如果对于任意的，，求的取值范围。-优题课

题文

（
设函数
⑴若时，解不等式；
⑵如果对于任意的，，求的取值范围。

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在直角坐标系 $x O y$ 中,已知点 $A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2)$ ,点 $P (x, y)$ 在 $∆ A B C$ 三边围成的区域(含边界)上,且 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C} (m, n \in R)$

（1）若 $m = n = \frac{2}{3}$ ,求 $|\overset{⇀}{O P}|$ ；
（2）用 $x, y$ 表示 $m - n$ ,并求 $m - n$ 的最大值.

四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $A B, B D, D C, C A$ 于点 $E, F, G, H$ .

（1）求四面体 $A B C D$ 的体积；
（2）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形.

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin (A) + \sin (C) = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $c = 2 a$ ，求 $\cos (B)$ 的值.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）.点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $A D ⊥ A B$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点.
（i）设直线 $B D, A M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $λ$ 使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，并求出 $λ$ 的值；
（ii）求 $∆ C M N$ 面积的最大值.

设函数 $f (x) = a \ln (x) + \frac{x - 1}{x + 1},$ 其中 $a$ 为常数，

（1）若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x) 在点 (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

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