．-优题课

反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数，且 $k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1, 3)$ 、 $B (3, m)$ ．

（1）求反比例函数的解析式及 $B$ 点的坐标；

（2）在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使 $PA + PB$ 的值最小，求满足条件的点 $P$ 的坐标．

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 $l$ 经过 $A$ 、 $B$ 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 $C$ ．经测量， $C$ 位于 $A$ 的北偏东 $60 °$ 的方向上， $C$ 位于 $B$ 的北偏东 $30 °$ 的方向上，且 $AB = 10 km$ ．

（1）求景点 $B$ 与 $C$ 的距离；

（2）为了方便游客到景点 $C$ 游玩，景区管委会准备由景点 $C$ 向公路 $l$ 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取 $n$ 名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：

（1）求 $n$ 的值；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AB$ 的中点，连接 $DE$ 、 $CE$ ．

（1）求证： $ΔADE ≅ ΔBCE$ ；

（2）若 $AB = 6$ ， $AD = 4$ ，求 $ΔCDE$ 的周长．

如图，点 $P$ 为抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上一动点．

（1）若抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 是由抛物线 $y = \frac{1}{4} {(x + 2)}^{2} - 1$ 通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线 $l$ 经过 $y$ 轴上一点 $N$ ，且平行于 $x$ 轴，点 $N$ 的坐标为 $(0, - 1)$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ l$ 于 $M$ ．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 $F$ ，使得 $PM = PF$ 恒成立？若存在，求出点 $F$ 的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点 $Q$ 的坐标为 $(1, 5)$ ，求 $QP + PF$ 的最小值．