已知α，β是方程4x2－4tx－1＝0(t∈R)的两个实数根，函数f(x)＝的定义域为[α，β]．
(1)判断f(x)在[α，β]上的单调性，并证明你的结论；
(2)设g(t)＝maxf(x)－minf(x)，求函数g(t)的最小值
（本小题满分10分）已知单调递增的等比数列
满足：
，且
是
的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，
，求使
成立的正整数
的最小值.
（本小题满分16分）已知数列
的奇数项是首项为
的等差数列，偶数项是首项为
的等比数列，数列前
项和为
，且满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，求正整数
的值；
（3）是否存在正整数，使得
恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.
（本小题满分16分）设
，函数
，其中常数a
．
（1）求函数
的极值；
（2）设一直线与函数
的图象切于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且
．
①求
的值；
②求证：
．
（本小题满分16分） 如图，过椭圆
的左顶点
和下顶点
且斜率均为
的两直线
分别交椭圆于
，又
交
轴于
，
交
轴于
，且
与
相交于点
.当
时，
是直角三角形.
（1）求椭圆L的标准方程；
（2）①证明：存在实数
，使得
；
②求|OP|的最小值.
（本小题满分14分）为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中
。为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边
上，且
，设
.
（1）求梯形铁片ABCD的面积
关于
的函数关系式；
（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积最大，并求出最大值.