一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时同发-优题课

一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时同发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，途中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图像进行以下探究：
　　(1)甲、乙两地的距离为____km；
　　(2)请解释图中点B实际意义；
　　(3)求慢车与快车的速度；
　　(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中的样本容量是　　；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．

如图1，在菱形 $ABCD$ 中， $AB = 6 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ ABC = 2$ ，点 $E$ 从点 $D$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线 $DA$ 的方向匀速运动，设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ，将线段 $CE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转一个角 $α (α = ∠ BCD)$ ，得到对应线段 $CF$ ．

（1）求证： $BE = DF$ ；

（2）当 $t =$ 　　秒时， $DF$ 的长度有最小值，最小值等于　　；

（3）如图2，连接 $BD$ 、 $EF$ 、 $BD$ 交 $EC$ 、 $EF$ 于点 $P$ 、 $Q$ ，当 $t$ 为何值时， $ΔEPQ$ 是直角三角形？

（4）如图3，将线段 $CD$ 绕点 $C$ 顺时针旋转一个角 $α (α = ∠ BCD)$ ，得到对应线段 $CG$ ．在点 $E$ 的运动过程中，当它的对应点 $F$ 位于直线 $AD$ 上方时，直接写出点 $F$ 到直线 $AD$ 的距离 $y$ 关于时间 $t$ 的函数表达式．

如果三角形三边的长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $\frac{a + b + c}{3} = b$ ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7， $\dots$ 的三角形都是“匀称三角形”．

（1）如图1，已知两条线段的长分别为 $a$ 、 $c (a < c)$ ．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为 $a$ 、 $c$ 的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图2， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 延长线于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，若 $\frac{BE}{CF} = \frac{5}{3}$ ，判断 $ΔAEF$ 是否为“匀称三角形”？请说明理由．

如图1，一次函数 $y = kx - 3 (k \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $B (4, b)$ ．

（1） $b =$ 　　； $k =$ 　　；

（2）点 $C$ 是线段 $AB$ 上的动点（与点 $A$ 、 $B$ 不重合），过点 $C$ 且平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 交这个反比例函数的图象于点 $D$ ，求 $ΔOCD$ 面积的最大值；

（3）将（2）中面积取得最大值的 $ΔOCD$ 沿射线 $AB$ 方向平移一定的距离，得到△ $O' C' D'$ ，若点 $O$ 的对应点 $O'$ 落在该反比例函数图象上（如图 $2)$ ，则点 $D'$ 的坐标是　　．

现如今，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小张为了了解他的微信朋友圈里大家的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月9日那天每天行走的步数情况分为五个类别： $A (0 - 4000$ 步）（说明：“ $0 - 4000$ ”表示大于等于0，小于等于4000，下同）， $B (4001 - 8000$ 步）， $C (8001 - 12000$ 步）， $D (12001 - 16000$ 步）， $E (16001$ 步及以上），并将统计结果绘制了如图1的图2两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）将图1的条形统计图补充完整；

（2）已知小张的微信朋友圈里共500人，请根据本次抽查的结果，估计在他的微信朋友圈里6月9日那天行走不超过8000步的人数．