（本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最-优题课

已知函数 $f (x) = l n x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R)$ .
(Ⅰ)当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $g (x) = x^{2} - 2 b x + 4$ 当 $a = \frac{1}{4}$ 时，若对任意 $x_{1} \in (0, 2)$ ，存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $b$ 取值范围.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{3} = 7, a_{5} + a_{1} = 26$ ， $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；
（Ⅱ）令b_n= $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} （ n \in N * ）$ (nN^*)，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x \sin φ + \cos^{2} x \cos φ - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2} + φ) (0 < φ < π)$ ，其图象过点 $(\frac{π}{6}, \frac{1}{2})$ ．
（Ⅰ）求 $φ$ 的值；
（Ⅱ）将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。
现设 $n = 4$ ，分别以 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 $X = |1 - a_{1}| + |2 - a_{2}| + |3 - a_{3}| + |4 - a_{4}|$ ，则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述。
(Ⅰ)写出 $X$ 的可能值集合；
(Ⅱ)假设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求 $X$ 的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 $X \leq 2$ ，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

设数列 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n} \dots$ 中的每一项都不为0.
证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列的充分必要条件是：对任何 $n \in N$ ，都有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = \frac{n}{a_{_{1}} a_{n - 1}}$ .