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题文

科目数学题型解答题难度中等

知识点：复合三角函数

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已知矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1} = [\begin{matrix} - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A$ 的特征值．

如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $D, E$ 为圆上位于 $A B$ 异侧的两点，连结 $B D$ 并延长至点 $C$ ，使 $B D = D C$ ，连结 $A C, A E, D E$ ．
求证： $∠ E = ∠ C$ ．

已知各项均为正数的两个数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{\sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}}, n \in N^{*}$ ，
（1）设 $b_{n + 1} = 1 + \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in N^{*}$ ，求证：数列 ${(\frac{b_{n}}{a_{n}})^{2}}$ 是等差数列；

（2）设 $b_{n + 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in N^{*}$ ，且 ${a_{n}}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $(e, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；
（2）设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$ 与直线 $B F_{2}$ 平行， $A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1} = B F_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证： $P F_{1} + P F_{2}$ 是定值．

若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极大值或极小值，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的极值点.已知 $a, b$ 是实数，1和-1是函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 的两个极值点．
（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；
（2）设函数 $g (x)$ 的导函数 $g ` (x) = f (x) + 2$ ，求 $g (x)$ 的极值点；
（3）设 $h (x) = f (f (x)) - c$ ，其中 $c \in [- 2, 2]$ ，求函数 $y = h (x)$ 的零点个数．

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