某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满
元可以
转动如图所示的圆盘一次，其中
为圆心，且标有
元、
元、
元的三部分区域面积相
等． 假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例
如：某顾客消费了
元，第一次转动获得了元，第二次获得了元，则其共获得了
元
优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．
⑴若顾客甲消费了
元，求他获得优惠券面额大于元的概率？
⑵若顾客乙消费了
元，求他
总共获得优惠券金额不低于元的概率？
（选修4－1：几何证明选讲）
如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．
（本小题满分16分）设函数
有且仅有两个极值点
．
（1）求实数
的取值范围；
（2）是否存在实数满足
？如存在，求
的极大值；如不存在，请说明理由．
（本小题满分16分）
已知数列
是等差数列，
是等比数列，且满足
，
．
（1）若
，
．
①当
时，求数列和的通项公式；
②若数列是唯一的，求
的值；
（2）若
，
，
均为正整数，且成等比数列，求数列的公差
的最大值．
（本小题满分16分）已知椭圆
的离心率为
，并且椭圆经过点
，过原点
的直线
与椭圆
交于
两点，椭圆上一点
满足
．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
为定值；
（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，
恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．
（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为
的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为
，体积为
．
（1）求
关于
的函数关系式；
（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．