（本小题满分6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小-优题课

（本小题满分6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形.

（1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A₁B₁C_1.
（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A₂B₂C_2.
（3）画出一条直线将△AC₁A₂的面积分成相等的两部分.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：对称式和轮换对称式

如图，已知等腰 $ΔABC$ 顶角 $∠ A = 36 °$ ．

（1）在 $AC$ 上作一点 $D$ ，使 $AD = BD$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；

（2）求证： $ΔBCD$ 是等腰三角形．

如果抛物线 $C_{1}$ 的顶点在拋物线 $C_{2}$ 上，抛物线 $C_{2}$ 的顶点也在拋物线 $C_{1}$ 上时，那么我们称抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_{1} : y_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + x$ 与 $C_{2} : y_{2} = a x^{2} + x + c$ 是“互为关联”的拋物线，点 $A$ ， $B$ 分别是抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的顶点，抛物线 $C_{2}$ 经过点 $D (6, - 1)$ ．

（1）直接写出 $A$ ， $B$ 的坐标和抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）抛物线 $C_{2}$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $ΔABE$ 是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$ 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F (- 6, 3)$ 在抛物线 $C_{1}$ 上，点 $M$ ， $N$ 分别是抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且点 $M$ ， $N$ 的横坐标相同，记 $ΔAFM$ 面积为 $S_{1}$ （当点 $M$ 与点 $A$ ， $F$ 重合时 $S_{1} = 0)$ ， $ΔABN$ 的面积为 $S_{2}$ （当点 $N$ 与点 $A$ ， $B$ 重合时， $S_{2} = 0)$ ，令 $S = S_{1} + S_{2}$ ，观察图象，当 $y_{1} ⩽ y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围，并求出在此范围内 $S$ 的最大值．

如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 边上的一个动点（点 $E$ 与点 $A$ ， $B$ 不重合），连接 $CE$ ，过点 $B$ 作 $BF ⊥ CE$ 于点 $G$ ，交 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔABF ≅ ΔBCE$ ；

（2）如图2，当点 $E$ 运动到 $AB$ 中点时，连接 $DG$ ，求证： $DC = DG$ ；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $C$ 作 $CM ⊥ DG$ 于点 $H$ ，分别交 $AD$ ， $BF$ 于点 $M$ ， $N$ ，求 $\frac{MN}{NH}$ 的值．

某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．

（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？

（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸 $a$ 袋 $(a$ 为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含 $a$ 的代数式表示．

（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付 $w$ 元，求 $w$ 关于 $a$ 的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？

如图， $ΔABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $AB = 6$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $∠ BAD = ∠ CBD$ ；

（2）若 $∠ AEB = 125 °$ ，求 $\hat{BD}$ 的长（结果保留 $π)$ ．