已知
，且
求证：
(本题满分12分)
东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本
与科技成本的投入次数
的关系是=
.若水晶产品的销售价格不变,第次投入后的年利润为
万元.（1）求出的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
如图，四棱锥
中，四边形
为矩形，
为等腰三角形，
，
平面
平面，且
、
分别为
和
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）证明：平面
平面；
（3）求四棱锥的体积．
某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：
| 环数 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| 命中次数 |
2 |
7 |
8 |
3 |
（Ⅰ）求此运动员射击的环数的平均数；
（Ⅱ）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为
次、
次，每个基本事件为（m，n）.求“
”的概率.
如图，
是单位圆与
轴正半轴的交点，点
、
在单位圆上，且
，
，
，
,四边形
的面积为
，
（Ⅰ）求
+
（Ⅱ）求
的最大值及此时
的值
；
(本题14分)设直线
（其中
，
为整数）与椭圆
交于不同两点
，
，与双曲线
交于不同两点
，
，问是否存在直线
，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．