(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、O-优题课

(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，

分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，
OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针
旋转角得到△E₁OF₁(如图2)．
(1)探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

科目数学题型解答题难度中等

如图，已知菱形 $ABCD$ 的对称中心是坐标原点 $O$ ，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与 $AD$ 边交于 $E (- 4, \frac{1}{2})$ ， $F (m, 2)$ 两点．

（1）求 $k$ ， $m$ 的值；

（2）写出函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象在菱形 $ABCD$ 内 $x$ 的取值范围．

请完成如下探究系列的有关问题：

探究1：如图1， $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ 为 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，以 $AD$ 为边在 $AD$ 的右侧作正方形 $ADEF$ ，连接 $CF$ ，则线段 $CF$ ， $BD$ 之间的位置关系为　　，数量关系为　　．

探究2：如图2，当点 $D$ 运动到线段 $BC$ 的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）

探究3：如图3，如果 $AB \neq AC$ ， $∠ BAC \neq 90 °$ ， $∠ BCA$ 仍然保留为 $45 °$ ，点 $D$ 在线段 $BC$ 上运动，请你判断线段 $CF$ ， $BD$ 之间的位置关系，并说明理由．

西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”．规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项） $: A$ ．课外阅读； $B$ ．家务劳动； $C$ ．体育锻炼； $D$ ．学科学习； $E$ ．社会实践； $F$ ．其他项目进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）此次抽查的样本容量为　　，请补全条形统计图；

（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？

（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．

我省某地区为了了解2016年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向： $A$ ．读普通高中； $B$ ．读职业高中； $C$ ．直接进入社会就业； $D$ ．其他（如出国等）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（如图1，如图2）

（1）填空：该地区共调查了　　名九年级学生；

（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；

（3）若该地区2016年初中毕业生共有3500人，请估计该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生人数；

（4）老师想从甲，乙，丙，丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表的方法求选中甲同学的概率．

如图，在边长为1的正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $CD$ 的中点，点 $P$ 是边 $AD$ 上一点（与点 $A$ 、 $D$ 不重合），射线 $PE$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $Q$ ．

（1）求证： $ΔPDE ≅ ΔQCE$ ；

（2）过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $PB$ 于点 $F$ ，连接 $AF$ ，当 $PB = PQ$ 时，

①求证：四边形 $AFEP$ 是平行四边形；

②请判断四边形 $AFEP$ 是否为菱形，并说明理由．