已知抛物线经过A(3，0),B(4，1)两点，且与y轴交于点-优题课

已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，连接 $BD$ ，点 $H$ 为 $BD$ 的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使 $PD + PH$ 的值最小，则 $PD + PH$ 的最小值为　　．

（注：抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 ac - b^{2}}{4 a})$

如图，在 $⊙ O$ 中， $\hat{AB} = 2 \hat{AC}$ ， $AD ⊥ OC$ 于 $D$ ．求证： $AB = 2 AD$ ．

已知：在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上，直线 $y = - \sqrt{3} x + \frac{7}{2} \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ 、 $C$ 两点，四边形 $ABCD$ 为菱形．

（1）如图1，求点 $A$ 的坐标；

（2）如图2，连接 $AC$ ，点 $P$ 为 $ΔACD$ 内一点，连接 $AP$ 、 $BP$ ， $BP$ 与 $AC$ 交于点 $G$ ，且 $∠ APB = 60 °$ ，点 $E$ 在线段 $AP$ 上，点 $F$ 在线段 $BP$ 上，且 $BF = AE$ ，连接 $AF$ 、 $EF$ ，若 $∠ AFE = 30 °$ ，求 $A F^{2} + E F^{2}$ 的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $PE = AE$ 时，求点 $P$ 的坐标．

已知： $⊙ O$ 是正方形 $ABCD$ 的外接圆，点 $E$ 在 $\hat{AB}$ 上，连接 $BE$ 、 $DE$ ，点 $F$ 在 $\hat{AD}$ 上连接 $BF$ 、 $DF$ ， $BF$ 与 $DE$ 、 $DA$ 分别交于点 $G$ 、点 $H$ ，且 $DA$ 平分 $∠ EDF$ ．

（1）如图1，求证： $∠ CBE = ∠ DHG$ ；

（2）如图2，在线段 $AH$ 上取一点 $N$ （点 $N$ 不与点 $A$ 、点 $H$ 重合），连接 $BN$ 交 $DE$ 于点 $L$ ，过点 $H$ 作 $HK / / BN$ 交 $DE$ 于点 $K$ ，过点 $E$ 作 $EP ⊥ BN$ ，垂足为点 $P$ ，当 $BP = HF$ 时，求证： $BE = HK$ ；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $3 HF = 2 DF$ 时，延长 $EP$ 交 $⊙ O$ 于点 $R$ ，连接 $BR$ ，若 $ΔBER$ 的面积与 $ΔDHK$ 的面积的差为 $\frac{7}{4}$ ，求线段 $BR$ 的长．

春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买 $A$ 型、 $B$ 型两种型号的放大镜．若购买8个 $A$ 型放大镜和5个 $B$ 型放大镜需用220元；若购买4个 $A$ 型放大镜和6个 $B$ 型放大镜需用152元．

（1）求每个 $A$ 型放大镜和每个 $B$ 型放大镜各多少元；

（2）春平中学决定购买 $A$ 型放大镜和 $B$ 型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个 $A$ 型放大镜？

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