如图，在⊙O中，AB̂2AĈ，AD⊥OC于D．求证：AB2-优题课

如图，在 $⊙ O$ 中， $\hat{AB} = 2 \hat{AC}$ ， $AD ⊥ OC$ 于 $D$ ．求证： $AB = 2 AD$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆心角、弧、弦的关系

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $O$ 为 $AB$ 上一点，经过点 $A$ 、 $D$ 的 $⊙ O$ 分别交 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BE = 8$ ， $\sin B = \frac{5}{13}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）求证： $A D^{2} = AB \cdot AF$ ．

我国传统数学名著《九章算术》记载："今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．

我市将面向全市中小学开展"经典诵读"比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛．

（1）请列举所有可能出现的选派结果；

（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．

已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + \sqrt{m} x - 2 = 0$ 有两个实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）设方程的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} - 17 = 0$ ，求 $m$ 的值．

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象相交于 $A (1, a)$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 在第四象限， $BC / / x$ 轴．

（1）求 $k$ 的值；

（2）以 $AB$ 、 $BC$ 为边作菱形 $ABCD$ ，求 $D$ 点坐标．