南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我-优题课

南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算,渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $BD$ 为一条对角线， $AD / / BC$ ， $AD = 2 BC$ ， $∠ ABD = 90 °$ ， $E$ 为 $AD$ 的中点，连接 $BE$ ．

（1）求证：四边形 $BCDE$ 为菱形；

（2）连接 $AC$ ，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $BC = 1$ ，求 $AC$ 的长．

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ ．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求 $k$ 的取值范围．

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》 $)$

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明： $S_{矩形 NFGD} = S_{ΔADC} - (S_{ΔANF} + S_{ΔFGC})$ ， $S_{矩形 EBMF} = S_{ΔABC} - ($ 　　 $+$ 　　 $)$ ．

易知， $S_{ΔADC} = S_{ΔABC}$ ，　　 $=$ 　　，　　 $=$ 　　．

可得 $S_{矩形 NFGD} = S_{矩形 EBMF}$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ A = 36 °$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$ ．

求证： $AD = BC$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3, 1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x = 3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $AC$ 的表达式；

（2） $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m, 3)$ ，若在 $⊙ O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．