某校开展了以人生观、价值观为主题的班队活动，活动结束后，初三-优题课

某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如下扇形统计图.
(1)该班学生选择“和谐”观点的有人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是度.
(2)如果该校有1500名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有人.
(3)如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率（用树状图或列表法分析解答）

科目数学题型解答题难度较难

人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知： $∠ AOB$ ．

求作： $∠ AOB$ 的平分线．

作法：（1）以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $OA$ 于点 $M$ ，交 $OB$ 于点 $N$ ．

（2）分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} MN$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ AOB$ 的内部相交于点 $C$ ．

（3）画射线 $OC$ ，射线 $OC$ 即为所求（如图）．

请你根据提供的材料完成下面问题．

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是　　．（填序号）

① $SSS$ ② $SAS$ ③ $AAS$ ④ $ASA$

（2）请你证明 $OC$ 为 $∠ AOB$ 的平分线．

先化简再求值： $\frac{x + 2}{x^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x + 2} - \frac{x}{x - 3}$ ，其中 $x = 4$ ．

计算： $| - 3 | - {(\sqrt{10} - 1)}^{0} + \sqrt{2} \cos 45 ° + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_{1} : y = a {(x - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{64}{15}$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- \frac{6}{5}$ ， $0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $F_{1}$ 的表达式；

（2）如图2，将抛物线 $F_{1}$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $F_{2}$ ，若抛物线 $F_{1}$ 与抛物线 $F_{2}$ 相交于点 $D$ ，连接 $BD$ ， $CD$ ， $BC$ ．

①求点 $D$ 的坐标；

②判断 $ΔBCD$ 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $F_{2}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $ΔBDP$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $C$ 点， $A$ 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $CA$ ， $AB$ 上沿 $C \to A$ ， $A \to B$ 的方向运动，当点 $Q$ 运动到点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t (s)$ ，连接 $PQ$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ PQ$ ， $PE$ 与边 $BC$ 相交于点 $E$ ，连接 $QE$ ．

（1）如图2，当 $t = 5 s$ 时，延长 $EP$ 交边 $AD$ 于点 $F$ ．求证： $AF = CE$ ；

（2）在（1）的条件下，试探究线段 $AQ$ ， $QE$ ， $CE$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当 $t > \frac{9}{4} s$ 时，延长 $EP$ 交边 $AD$ 于点 $F$ ，连接 $FQ$ ，若 $FQ$ 平分 $∠ AFP$ ，求 $\frac{AF}{CE}$ 的值．