（满分10分）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①-优题课

（满分10分）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.
（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；
（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图③.探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I =CI.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

问题1：如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = 4$ ， $D$ 是 $AB$ 上一点（不与 $A$ ， $B$ 重合）， $DE / / BC$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $CD$ ．设 $ΔABC$ 的面积为 $S$ ， $ΔDEC$ 的面积为 $S'$ ．

（1）当 $AD = 3$ 时， $\frac{S'}{S} =$ 　　；

（2）设 $AD = m$ ，请你用含字母 $m$ 的代数式表示 $\frac{S'}{S}$ ．

问题2：如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $AD / / BC$ ， $AD = \frac{1}{2} BC$ ， $E$ 是 $AB$ 上一点（不与 $A$ ， $B$ 重合）， $EF / / BC$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ，连接 $CE$ ．设 $AE = n$ ，四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$ ， $ΔEFC$ 的面积为 $S'$ ．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$ 的代数式表示 $\frac{S'}{S}$ ．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD$ 垂直于过点 $C$ 的切线，垂足为 $D$ ， $CE$ 垂直 $AB$ ，垂足为 $E$ ．延长 $DA$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $FC$ ， $FC$ 与 $AB$ 相交于点 $G$ ，连接 $OC$ ．

（1）求证： $CD = CE$ ；

（2）若 $AE = GE$ ，求证： $ΔCEO$ 是等腰直角三角形．

如图，已知抛物线 $y = x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧）， $C$ 为顶点，直线 $y = x + m$ 经过点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求线段 $AD$ 的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 $C'$ ．若新抛物线经过点 $D$ ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 $CC'$ 平行于直线 $AD$ ，求新抛物线对应的函数表达式．

某学校准备购买若干台 $A$ 型电脑和 $B$ 型打印机．如果购买1台 $A$ 型电脑，2台 $B$ 型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台 $A$ 型电脑，2台 $B$ 型打印机，一共需要花费9400元．

（1）求每台 $A$ 型电脑和每台 $B$ 型打印机的价格分别是多少元？

（2）如果学校购买 $A$ 型电脑和 $B$ 型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买 $B$ 型打印机的台数要比购买 $A$ 型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台 $B$ 型打印机？

某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；

（3）若该校共有600名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？