如图，矩形ABCD中，AB6，BC2，点O是AB的中点，点P-优题课

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = x + b$ 的图象经过点 $A (- 2, 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $B (a, 4)$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设 $M$ 是直线 $AB$ 上一点，过 $M$ 作 $MN / / x$ 轴，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $N$ ，若 $A$ ， $O$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为平行四边形，求点 $M$ 的坐标．

由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 $A$ 处时，测得小岛 $C$ 位于它的北偏东 $70 °$ 方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达 $B$ 处，测得小岛 $C$ 位于它的北偏东 $37 °$ 方向．如果航母继续航行至小岛 $C$ 的正南方向的 $D$ 处，求还需航行的距离 $BD$ 的长．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如图不完整的统计图表．

满意度	人数	所占百分比
非常满意	12	$10 %$
满意	54	$m$
比较满意	$n$	$40 %$
不满意	6	$5 %$

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为　　，表中 $m$ 的值　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 2)$ ， $OB = 4 OA$ ， $\tan ∠ BCO = 2$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$ 、 $N$ 分别是线段 $BC$ 、 $AB$ 上的动点，点 $M$ 从点 $B$ 出发以每秒 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 个单位的速度向点 $C$ 运动，同时点 $N$ 从点 $A$ 出发以每秒2个单位的速度向点 $B$ 运动，当点 $M$ 、 $N$ 中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点 $M$ 作 $MP ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $P$ ．设点 $M$ 、点 $N$ 的运动时间为 $t (s)$ ，当 $t$ 为多少时， $ΔPNE$ 是等腰三角形？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $CE / / AB$ ，与过点 $A$ 的切线相交于点 $E$ ，连接 $AD$ ．

（1）求证： $AD = AE$ ；

（2）若 $AB = 6$ ， $AC = 4$ ，求 $AE$ 的长．