由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成-优题课

由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 $A$ 处时，测得小岛 $C$ 位于它的北偏东 $70 °$ 方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达 $B$ 处，测得小岛 $C$ 位于它的北偏东 $37 °$ 方向．如果航母继续航行至小岛 $C$ 的正南方向的 $D$ 处，求还需航行的距离 $BD$ 的长．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

阅读下列材料：

如图1，在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为 a、 b、 c，可以得到：

S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ absin C＝ $\frac{1}{2}$ acsin B＝ $\frac{1}{2}$ bcsin A

证明：过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D．

在Rt△ ABD中，sin B＝ $\frac{AD}{c}$

∴ AD＝ c•sin B

∴ S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ a• AD＝ $\frac{1}{2}$ acsin B

同理： S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ absin C

S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ bcsin A

∴ S _△ _ABC＝ $\frac{1}{2}$ absin C＝ $\frac{1}{2}$ acsin B＝ $\frac{1}{2}$ bcsin A

（1）通过上述材料证明：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

（2）运用（1）中的结论解决问题：

如图2，在△ ABC中，∠ B＝15°，∠ C＝60°， AB＝20 $\sqrt{3}$ ，求 AC的长度．

（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A、 B、 C三个测量点，在 B点测得 A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18 km到达 C点，测得 A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求 A、 B、 C三点围成的三角形的面积．

（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9， $\sqrt{2}$ ≈1.4，结果取整数）

如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°， AD平分∠ BAC，交 BC于点 D，点 O在 AB上，⊙ O经过 A、 D两点，交 AC于点 E，交 AB于点 F．

（1）求证： BC是⊙ O的切线；

（2）若⊙ O的半径是2 cm， E是 $\overset{⏜}{AD}$ 的中点，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

小明同学三次到某超市购买 A、 B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：

类别次数	购买 A商品数量（件）	购买 B商品数量（件）	消费金额（元）
第一次	4	5	320
第二次	2	6	300
第三次	5	7	258

解答下列问题：

（1）第　　次购买有折扣；

（2）求 A、 B两种商品的原价；

（3）若购买 A、 B两种商品的折扣数相同，求折扣数；

（4）小明同学再次购买 A、 B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买 A商品多少件．

国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施"精准扶贫"战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别： A．非常满意； B．满意； C．基本满意； D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）将图1补充完整；

（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（ A、 B、 C类视为满意）是　　；

（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．

如图， D是△ ABC中 BC边上一点，∠ C＝∠ DAC．

（1）尺规作图：作∠ ADB的平分线，交 AB于点 E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证： DE∥ AC．