如图10所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，-优题课

在平面内，给定不在同一条直线上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，如图所示，点 $O$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的距离均等于 $a (a$ 为常数），到点 $O$ 的距离等于 $a$ 的所有点组成图形 $G$ ， $∠ ABC$ 的平分线交图形 $G$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

（1）求证： $AD = CD$ ；

（2）过点 $D$ 作 $DE ⊥ BA$ ，垂足为 $E$ ，作 $DF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，延长 $DF$ 交图形 $G$ 于点 $M$ ，连接 $CM$ ．若 $AD = CM$ ，求直线 $DE$ 与图形 $G$ 的公共点个数．

国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

$a$ ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组： $30 ⩽ x < 40$ ， $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x ⩽ 100)$ ；

$b$ ．国家创新指数得分在 $60 ⩽ x < 70$ 这一组的是：

61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

$c$ ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

$d$ ．中国的国家创新指数得分为69.5．

（以上数据来源于《国家创新指数报告 $(2018)$ 》 $)$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　　；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线 $l_{1}$ 的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　　万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是　　．

①相比于点 $A$ ， $B$ 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点 $B$ ， $C$ 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AC$ 为对角线，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $AD$ 上， $BE = DF$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证： $AC ⊥ EF$ ；

（2）延长 $EF$ 交 $CD$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．若 $BD = 4$ ， $\tan G = \frac{1}{2}$ ，求 $AO$ 的长．

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根，且 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值及此时方程的根．

对于平面直角坐标系 $xOy$ 中的图形 $M$ ， $N$ ，给出如下定义： $P$ 为图形 $M$ 上任意一点， $Q$ 为图形 $N$ 上任意一点，如果 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M$ ， $N$ 间的“闭距离“，记作 $d (M, N)$ ．

已知点 $A (- 2, 6)$ ， $B (- 2, - 2)$ ， $C (6, - 2)$ ．

（1）求 $d$ （点 $O$ ， $ΔABC)$ ；

（2）记函数 $y = kx (- 1 ⩽ x ⩽ 1, k \neq 0)$ 的图象为图形 $G$ ．若 $d (G, ΔABC) = 1$ ，直接写出 $k$ 的取值范围；

（3） $⊙ T$ 的圆心为 $T (t, 0)$ ，半径为1．若 $d (⊙ T, ΔABC) = 1$ ，直接写出 $t$ 的取值范围．