（11·肇庆）(本小题满分10分)己知：如图10．△ABC内-优题课

（11·肇庆）(本小题满分10分)己知：如图10．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA
（2）求证：P处线段AF的中点
．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

根据有理数乘法（除法）法则可知：

①若 $ab > 0$ （或 $\frac{a}{b} > 0)$ ，则 $\{\begin{matrix} a > 0 \\ b > 0 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{matrix} a < 0 \\ b < 0 \end{matrix}$ ；

②若 $ab < 0$ （或 $\frac{a}{b} < 0)$ ，则 $\{\begin{matrix} a > 0 \\ b < 0 \end{matrix}$ 或 $\{\begin{matrix} a < 0 \\ b > 0 \end{matrix}$ ．

根据上述知识，求不等式 $(x - 2) (x + 3) > 0$ 的解集

解：原不等式可化为：（1） $\{\begin{matrix} x - 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix}$ 或（2） $\{\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ x + 3 < 0 \end{matrix}$ ．

由（1）得， $x > 2$ ，

由（2）得， $x < - 3$ ，

$∴$ 原不等式的解集为： $x < - 3$ 或 $x > 2$ ．

请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：

（1）不等式 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 的解集为　 $- 1 < x < 3$ 　．

（2）求不等式 $\frac{x + 4}{1 - x} < 0$ 的解集（要求写出解答过程）

已知二次函数 $y = x^{2} + x + a$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 1$ ，求 $a$ 的值．

如图，点 $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长与 $AB$ 的延长线交于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OB = BF$ ， $EF = 4$ ，求 $AD$ 的长．

某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有　　人；

（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为　　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若获得一等奖的同学中有 $\frac{1}{4}$ 来自七年级， $\frac{1}{2}$ 来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $OC$ 上一点，连接 $EB$ ．过点 $A$ 作 $AM ⊥ BE$ ，垂足为 $M$ ， $AM$ 与 $BD$ 相交于点 $F$ ．求证： $OE = OF$ ．