正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道，工作人员为初步估-优题课

正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道，工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°（隧道进口A和隧道出口B在同一海拔高度），计算隧道AB的长．（参考数据：sin53°=，tan53°=）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

已知，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 为 $BC$ 的中点．

（1）如图①，若点 $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $AC$ 上的点，且 $DE ⊥ DF$ ，求证： $BE = AF$ ；

（2）若点 $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $CA$ 延长线上的点，且 $DE ⊥ DF$ ，那么 $BE = AF$ 吗？请利用图②说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $OABC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 的坐标为 $(1, \sqrt{3})$ ．

（1）求图象过点 $B$ 的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$ ， $B$ 的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $y$ （单位： $m)$ 与飞行时间 $x$ （单位： $s)$ 之间具有函数关系 $y = - 5 x^{2} + 20 x$ ，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 $15 m$ 时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD ⊥ CD$ 于点 $D$ ，且 $AC$ 平分 $∠ DAB$ ，求证：

（1）直线 $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $A C^{2} = 2 AD \cdot AO$ ．

如图1，经过原点 $O$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A (\frac{3}{2}$ ， $0)$ ，在第一象限内与直线 $y = x$ 交于点 $B (2, t)$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$ ，满足以 $B$ ， $O$ ， $C$ 为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$ 的坐标；

（3）如图2，若点 $M$ 在这条抛物线上，且 $∠ MBO = ∠ ABO$ ，在（2）的条件下，是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPOC ∽ ΔMOB$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．