七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请你用-优题课

七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形．
（1）拼成矩形，在图2中画出示意图．
（2）拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图．
注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：立体图形

如图所示， $ΔOAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 的纵坐标为5，过点 $A$ 、 $B$ 分别作 $y$ 轴的垂线 $AE$ 、 $BF$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ，且 $AE = 1$ ．

（1）若点 $E$ 为线段 $OC$ 的中点，求 $k$ 的值；

（2）若 $ΔOAB$ 为等腰直角三角形， $∠ AOB = 90 °$ ，其面积小于3．

①求证： $ΔOAE ≅ ΔBOF$ ；

②把 $| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 称为 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 两点间的“ $ZJ$ 距离”，记为 $d (M, N)$ ，求 $d (A$ ， $C) + d (A$ ， $B)$ 的值．

$AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ 、 $BC$ ，直线 $MN$ 过点 $C$ ，满足 $∠ BCM = ∠ BAC = α$ ．

（1）如图①，求证：直线 $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）如图②，点 $D$ 在线段 $BC$ 上，过点 $D$ 作 $DH ⊥ MN$ 于点 $H$ ，直线 $DH$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $AF$ 并延长交直线 $MN$ 于点 $G$ ，连接 $CE$ ，且 $CE = \frac{5}{3}$ ，若 $⊙ O$ 的半径为1， $\cos α = \frac{3}{4}$ ，求 $AG \cdot ED$ 的值．

如图所示， $ΔBEF$ 的顶点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 的延长线上， $AE$ 与 $BF$ 交于点 $G$ ，连接 $AF$ 、 $CF$ ，满足 $ΔABF ≅ ΔCBE$ ．

（1）求证： $∠ EBF = 90 °$ ．

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为1， $CE = 2$ ，求 $\tan ∠ AFC$ 的值．

近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：

（1）求该数据中每天代寄包裹数在 $50.5 ~ 200.5$ 范围内的天数；

（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．

①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？

②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：

重量 $G$ （单位：千克）	$2 < G ⩽ 3$	$3 < G ⩽ 4$	$4 < G ⩽ 5$
件数（单位：件）	15	10	15

求这40件包裹收取费用的平均数．

某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 、 $B$ 分别在 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上，斜坡 $AB$ 的长为18米，过点 $B$ 作 $BC ⊥ l_{1}$ 于点 $C$ ，且线段 $AC$ 的长为 $2 \sqrt{6}$ 米．

（1）求该斜坡的坡高 $BC$ ；（结果用最简根式表示）

（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角 $α$ 为 $60 °$ ，过点 $M$ 作 $MN ⊥ l_{1}$ 于点 $N$ ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？