选修4－5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）若-优题课

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x = 6$ 上，且 $| BP | = | BQ |$ ， $BP ⊥ BQ$ ，求 $△ APQ$ 的面积．

已知函数 $f (x) = x^{3} - kx + k^{2}$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若 $f (x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

如图，在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $D D_{1}$ ，上，且 $2 DE = E D_{1}$ ， $BF = 2 F B_{1}$ ．证明：

（1）当 $AB = BC$ 时， $EF ⊥ AC$ ；

（2）点 $C_{1}$ 在平面 $AEF$ 内．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P( K ²≥ k)	0.050	0.010	0.001
k	3 841	6.635	10.828

设等比数列{ a _n}满足 $a_{1} + a_{2} = 4$ ， $a_{3} - a_{1} = 8$ ．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 为数列{log ₃ a _n}的前 n项和．若 $S_{m} + {S_{m +}}_{1} = {S_{m}}_{+ 3}$ ，求 m．