(本题6分)已知，求的值-优题课

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3, 1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x = 3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $AC$ 的表达式；

（2） $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m, 3)$ ，若在 $⊙ O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

在等边 $ΔABC$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $BC$ 边上的两点， $AP = AQ$ ， $∠ BAP = 20 °$ ，求 $∠ AQB$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $BC$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $AP = AQ$ ，点 $Q$ 关于直线 $AC$ 的对称点为 $M$ ，连接 $AM$ ， $PM$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $PA = PM$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $PA = PM$ ，只需证 $ΔAPM$ 是等边三角形；

想法2：在 $BA$ 上取一点 $N$ ，使得 $BN = BP$ ，要证明 $PA = PM$ ，只需证 $ΔANP ≅ ΔPCM$ ；

想法3：将线段 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $BK$ ，要证 $PA = PM$ ，只需证 $PA = CK$ ， $PM = CK \dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $PA = PM$ （一种方法即可）．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = m x^{2} - 2 mx + m - 1 (m > 0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ， $B$ ．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当 $m = 1$ 时，求线段 $AB$ 上整点的个数；

②若抛物线在点 $A$ ， $B$ 之间的部分与线段 $AB$ 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求 $m$ 的取值范围．

已知 $y$ 是 $x$ 的函数，自变量 $x$ 的取值范围 $x > 0$ ，下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

$x$	$\dots$	1	2	3	5	7	9	$\dots$
$y$	$\dots$	1.98	3.95	2.63	1.58	1.13	0.88	$\dots$

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 $y$ 与 $x$ 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：

① $x = 4$ 对应的函数值 $y$ 约为　　；

②该函数的一条性质：　　．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $F$ 为弦 $AC$ 的中点，连接 $OF$ 并延长交 $\hat{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $AC / / DE$ ；

（2）连接 $CD$ ，若 $OA = AE = a$ ，写出求四边形 $ACDE$ 面积的思路．