提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情-优题课

题文

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

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已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.
（1）若 $a_{n} = 3 n + 1$ ，是否存在 $m, k \in N^{+}$ ，有 $a_{m} + a_{m + 1} = a_{k}$ 说明理由；
（2）找出所有数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ ，使对一切 $n \in N^{+}$ , $\frac{a_{n - 1}}{a_{n}} = b_{n}$ ,并说明理由；
（3）若 $a_{1} = 5, d = 4, b_{1} = q = 3$ 试确定所有的 $p$ ，使数列 ${a_{n}}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 ${b_{n}}$ 中的一项，请证明.

已知函数 $y = f (x)$ 的反函数.定义：若对给定的实数 $a (a \neq 0)$ ，函数 $y = f (x + a)$ 与 $y = f^{- 1} (x + a)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 和性质"；若函数 $y = f (a x)$ 与 $y = f^{- 1} (a x)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 积性质".
（1）判断函数 $g (x) = x^{2} + 1 (x > 0)$ 是否满足"1和性质"，并说明理由；
（2）求所有满足"2和性质"的一次函数；
（3）设函数 $y = f (x) (x > 0)$ 对任何 $a > 0$ ，满足" $a$ 积性质".求 $y = f (x)$ 的表达式.

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ,设过点 $A (- 3 \sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\overset{⇀}{e} = (1, k)$

（1）当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离；
（2）证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$ ，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$ .

有时可用函数 $f (x) = {\begin{matrix} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, (x \leq 6) \\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, (x > 6) \end{matrix}$ 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 $x$ 表示某学科知识的学习次数（ $x \in N^{+}$ ）， $f (x)$ 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 $a$ 与学科知识有关.
（1）证明：当 $x \geq 7$ 时，掌握程度的增加量 $f (x + 1) - f (x)$ 总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 $(115, 121]$ , $(121, 127]$ , $(121, 133]$ .当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = B C = A B = 2, A B ⊥ B C$ ,求二面角 $B_{1} - A_{1} C - C_{1}$ 的大小.

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