下列各式在实数范围内有意义，分别求x的取值范围。（1）（2）-优题课

如图抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 有公共点 $A, B$ ,已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ,点 $B$ 在第三象限内,且 $△ AOB$ 的面积为 $3$ （ $O$ 为坐标原点）.

（1）求实数 $a, b, k$ 的值;

（2）过抛物线上点 $A$ 作直线 $AC / / x$ 轴,交拋物线于另一点 $C$ ,求所有满足 $△ EOC \sim △ AOB$ 的点 $E$ 的坐标.

如图,已知 $A, B$ 两点的坐标分别为 $A (0, 2 \sqrt{3}), B (2, 0)$ .直线 $AB$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $C$ 和点 $D (- 1, a)$ .

（1）求直线 $AB$ 和反比例函数的解析式;

（2）求 $∠ ACO$ 的度数;

（3）将 $△ OBC$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 角（ $α$ 为锐角）,得到 $△ O B^{'} C^{'}$ .当 $α$ 为多少度时, $O C^{'} ⊥ AB$ .并求此时线段 $A B^{'}$ 的长.

如图,点 $P$ 是双曲线 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} < 0, x < 0)$ 上一动点,过点 $P$ 作 $x$ 轴, $y$ 轴的垂线,分别交 $x$ 轴, $y$ 轴于 $A, B$ 两点,交双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x} (0 < k_{2} < |k_{1}|)$ 于 $E, F$ 两点.

（1）图①中,四边形 $P E O F$ 的面积 $S_{1}$ 为多少?（用含 $k_{1}, k_{2}$ 的式子表示.直接写出结论,不需过程）

（2）图②中,设 $P$ 点坐标为 $(- 4, 3)$ .

①判断 $EF$ 与 $AB$ 的位置关系,并证明你的结论;

②记 $S_{2} = S_{△ PEF} - S_{△ OEF}, S_{2}$ 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

如图,一次函数 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A, B$ 两点,与 $x$ 轴交于点 $C$ ,与 $y$ 轴交于点 $D$ ,已知 $OA = 2 \sqrt{5}, tan ∠ AOC = \frac{1}{2}$ ,点 $B$ 的坐标是 $(m - 4)$ .

（1）求反比例函数和一次函数的解析式;

（2）若点 $E$ 在坐标轴上,且使得 $S_{△ AED} = 3 S_{△ ACE}$ ,求点 $E$ 的坐标.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k > 0)$ 的图象与 $x$ 轴, $y$ 轴分别交于 $A, B$ 两点,且与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P (1, m)$ .

（1）求 $m$ 的值;

（2）若 $PA = 2 AB$ ,求 $k$ 的值.