若，求的值。-优题课

如图，已知四边形 $ABCD$ 是菱形， $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ， $BE ⊥ CD$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $AF = CE$ ；

（2）若 $DE = 2$ ， $BE = 4$ ，求 $\sin ∠ DAF$ 的值．

某校组织了一次防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识的调查活动，了解同学们在哪些方面的安全意识薄弱，便于今后更好地开展安全教育活动．根据调查结果，绘制出图1，图2两幅不完整的统计图．

请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次调查的人数为　　，其中防校园欺凌意识薄弱的人数占　　 $%$ ；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1500名学生，请估计该校学生中防溺水意识薄弱的人数；

（4）请你根据题中的信息，给该校的安全教育提一个合理的建议．

如图1，直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $y = 2 x^{2}$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $M$ 、 $N$ 关于 $x$ 轴对称，连接 $AN$ 、 $BN$ ．

（1）①求 $A$ 、 $B$ 的坐标；②求证： $∠ ANM = ∠ BNM$ ；

（2）如图2，将题中直线 $y = x + 1$ 变为 $y = kx + b (b > 0)$ ，抛物线 $y = 2 x^{2}$ 变为 $y = a x^{2} (a > 0)$ ，其他条件不变，那么 $∠ ANM = ∠ BNM$ 是否仍然成立？请说明理由．

在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如 $(- 3, 5)$ 与 $(5, - 3)$ 是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2） $M$ 、 $N$ 是一对“互换点”，若点 $M$ 的坐标为 $(m, n)$ ，求直线 $MN$ 的表达式（用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）；

（3）在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象上有一对“互换点” $A$ 、 $B$ ，其中点 $A$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，直线 $AB$ 经过点 $P (\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2})$ ，求此抛物线的表达式．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $D$ 在 $AB$ 的延长线上，且 $∠ BCD = ∠ A$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3， $CD = 4$ ，求 $BD$ 的长．