（本题8分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEF-优题课

（本题8分）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买7个足球和5个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元．

（1）求每个足球和篮球各多少元？

（2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？

我市某校准备成立四个活动小组： $A$ ．声乐， $B$ ．体育， $C$ ．舞蹈， $D$ ．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽查了　　名学生，扇形统计图中的 $m$ 值是　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交直线 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点 $D$ ，使得 $ΔBDE$ 和 $ΔACE$ 相似？若存在，请求出点 $D$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $F$ 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 $D$ 重合），点 $G$ 是线段 $AB$ 上的动点．连接 $DF$ ， $FG$ ，当四边形 $DEGF$ 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 $G$ 的坐标．

已知，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 是 $BC$ 边上一点，连接 $AD$ ，分别以 $CD$ 和 $AD$ 为直角边作 $Rt Δ CDE$ 和 $Rt Δ ADF$ ，使 $∠ DCE = ∠ ADF = 90 °$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $BC$ 下方，连接 $EF$ ．

（1）如图1，当 $BC = AC$ ， $CE = CD$ ， $DF = AD$ 时，

求证：① $∠ CAD = ∠ CDF$ ，② $BD = EF$ ；

（2）如图2，当 $BC = 2 AC$ ， $CE = 2 CD$ ， $DF = 2 AD$ 时，猜想 $BD$ 和 $EF$ 之间的数量关系？并说明理由．

如图， $M$ ， $N$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上的点，且 $\hat{AN} = \hat{BN}$ ，弦 $MN$ 交 $AB$ 于点 $C$ ， $BM$ 平分 $∠ ABD$ ， $MF ⊥ BD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $MF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CN = 3$ ， $BN = 4$ ，求 $CM$ 的长．