如图所示，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，-优题课

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{12} x^{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 8 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $AB$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $OA$ ， $AB$ 的中点， $Rt Δ CDE ≅ Rt Δ ABO$ ，且 $ΔCDE$ 始终保持边 $ED$ 经过点 $M$ ，边 $CD$ 经过点 $N$ ，边 $DE$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ，边 $CD$ 与 $y$ 轴交于点 $G$ ．

（1）填空： $OA$ 的长是　， $∠ ABO$ 的度数是　　度；

（2）如图2，当 $DE / / AB$ ，连接 $HN$ ．

①求证：四边形 $AMHN$ 是平行四边形；

②判断点 $D$ 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $CD$ 经过点 $O$ 时，（此时点 $O$ 与点 $G$ 重合），过点 $D$ 作 $DQ / / OB$ ，交 $AB$ 延长线上于点 $Q$ ，延长 $ED$ 到点 $K$ ，使 $DK = DN$ ，过点 $K$ 作 $KI / / OB$ ，在 $KI$ 上取一点 $P$ ，使得 $∠ PDK = 45 °$ （点 $P$ ， $Q$ 在直线 $ED$ 的同侧），连接 $PQ$ ，请直接写出 $PQ$ 的长．

四边形 $ABCD$ 是边长为4的正方形，点 $E$ 在边 $AD$ 所在直线上，连接 $CE$ ，以 $CE$ 为边，作正方形 $CEFG$ （点 $D$ ，点 $F$ 在直线 $CE$ 的同侧），连接 $BF$ ．

（1）如图1，当点 $E$ 与点 $A$ 重合时，请直接写出 $BF$ 的长；

（2）如图2，当点 $E$ 在线段 $AD$ 上时， $AE = 1$ ；

①求点 $F$ 到 $AD$ 的距离；

②求 $BF$ 的长；

（3）若 $BF = 3 \sqrt{10}$ ，请直接写出此时 $AE$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(6, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0, 8)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(- 2 \sqrt{5}$ ， $4)$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为四边形 $OABC$ 边上的动点，动点 $M$ 从点 $O$ 开始，以每秒1个单位长度的速度沿 $O \to A \to B$ 路线向终点 $B$ 匀速运动，动点 $N$ 从 $O$ 点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 $O \to C \to B \to A$ 路线向终点 $A$ 匀速运动，点 $M$ ， $N$ 同时从 $O$ 点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间 $t$ 秒 $(t > 0)$ ， $ΔOMN$ 的面积为 $S$ ．

（1）填空： $AB$ 的长是　　， $BC$ 的长是　　；

（2）当 $t = 3$ 时，求 $S$ 的值；

（3）当 $3 < t < 6$ 时，设点 $N$ 的纵坐标为 $y$ ，求 $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

（4）若 $S = \frac{48}{5}$ ，请直接写出此时 $t$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，延长 $EF$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ，且 $∠ ABG = 2 ∠ C$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\sin ∠ EGC = \frac{3}{5}$ ， $⊙ O$ 的半径是3，求 $AF$ 的长．

小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？