已知幂函数
，且
在
上单调递增.
（Ⅰ）求实数
的值，并写出相应的函数的解析式；
（II）若
在区间
上不单调，求实数
的取值范围；
（III）试判断是否存在正数
，使函数
在区间
上的值域为
. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
（本小题满分14分）已知数列
的前
项和为
，且点
（
）均在函数
的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，证明：对于任意的，都有
．
（本小题满分14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边
，且使平面
平面
，
，
，
，
是的中点．
（1）求
点到平面
的距离；
（2）求二面角
的正弦值．
（本小题满分12分）从广东省某市高三第一次模拟考试成绩中，随机抽取了
名学生的数学成绩得到频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计该市高三学生本次模拟考试数学成绩的平均分；
（2）以上述样本的频率作为概率，从该市高三学生中有放回地抽取
人，记抽到的学生数学成绩不低于
分的人数为
，求的分布列和数学期望．
（本小题满分12分）已知向量
，
，设函数
，
．
（1）求函数
在区间
上的最大值．
（2）设
，
，求
的值．
（本小题满分14分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）设
，若对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围．