如图，DE∥BC将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边的点F-优题课

我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆 $B$ 型电动自行车比每辆 $A$ 型电动自行车多500元．用5万元购进的 $A$ 型电动自行车与用6万元购进的 $B$ 型电动自行车数量一样．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若 $A$ 型电动自行车每辆售价为2800元， $B$ 型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进 $A$ 型电动自行车 $m$ 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 $y$ 元．写出 $y$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上 $D$ 点处测得瀑布顶端 $A$ 点的仰角是 $30 °$ ，测得瀑布底端 $B$ 点的俯角是 $10 °$ ， $AB$ 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 $CG = 27 m$ ， $GF = 17.6 m$ （注 $: C$ 、 $G$ 、 $F$ 三点在同一直线上， $CF ⊥ AB$ 于点 $F)$ ．斜坡 $CD = 20 m$ ，坡角 $∠ ECD = 40 °$ ．求瀑布 $AB$ 的高度．

（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18)$

如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的一条直线分别交 $AD$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ．求证： $AE = CF$ ．

已知二次函数： $y = a x^{2} + (2 a + 1) x + 2 (a < 0)$ ．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$ 轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$ 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$ 为负整数时，求 $a$ 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$ 轴的两个交点 $A$ ， $B (A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的交点 $C$ 及其顶点 $D$ 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$ 使 $∠ PCA = 75 °$ ？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $ABCD$ 中，分别过顶点 $B$ ， $D$ 作 $BE / / DF$ 交对角线 $AC$ 所在直线于 $E$ ， $F$ 点，并分别延长 $EB$ ， $FD$ 到点 $H$ ， $G$ ，使 $BH = DG$ ，连接 $EG$ ， $FH$ ．

（1）求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；

（2）已知： $AB = 2 \sqrt{2}$ ， $EB = 4$ ， $\tan ∠ GEH = 2 \sqrt{3}$ ，求四边形 $EHFG$ 的周长．