如图，已知等边，，E是BC延长线上的一点，且。试说明为等腰三-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $OC = 2 OA$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y = mx + n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $FA + FC$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $FA + FC$ 的最小值；

（3）连接 $AC$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $BC$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $Rt Δ PEQ$ ，且满足 $\tan ∠ EQP = \tan ∠ OCA$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $ABCD$ 与正方形 $AEGF$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上，连接 $BF$ ， $DE$ ， $M$ 是 $BF$ 的中点，连接 $AM$ 交 $DE$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的数量关系是　　，位置关系是　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $AEGF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，点 $G$ 恰好落在边 $AB$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

如图，已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $∠ BAC$ 的角平分线 $AD$ ，交 $BC$ 于点 $D$ ；

②作线段 $AD$ 的垂直平分线 $EF$ 与 $AB$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $OD$ 长为半径画圆，交边 $AB$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）若 $AM = 4 BM$ ， $AC = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

如图，正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ y$ 轴于点 $B$ ， $OB = 4$ ，点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $AC = OC$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $BC$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $ΔPOC$ 与 $ΔPAC$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．