已知：△ABC中∠A45°，DE垂直平分AC于D，分别交AB-优题课

在等腰直角 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $P$ 是线段 $BC$ 上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），连接 $AP$ ，延长 $BC$ 至点 $Q$ ，使得 $CQ = CP$ ，过点 $Q$ 作 $QH ⊥ AP$ 于点 $H$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ PAC = α$ ，求 $∠ AMQ$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）用等式表示线段 $MB$ 与 $PQ$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求直线 $BC$ 的表达式；

（2）垂直于 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于点 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，与直线 $BC$ 交于点 $N (x_{3}$ ， $y_{3})$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，结合函数的图象，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

如图， $P$ 是 $\hat{AB}$ 所对弦 $AB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $MB$ ，过点 $P$ 作 $PN ⊥ MB$ 于点 $N$ ．已知 $AB = 6 cm$ ，设 $A$ 、 $P$ 两点间的距离为 $xcm$ ， $P$ 、 $N$ 两点间的距离为 $ycm$ ．（当点 $P$ 与点 $A$ 或点 $B$ 重合时， $y$ 的值为 $0)$

小东根据学习函数的经验，对函数 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了 $x$ 与 $y$ 的几组值，如下表：

$x / cm$	0	1	2	3	4	5	6
$y / cm$	0	2.0	2.3	2.1		0.9	0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 $ΔPAN$ 为等腰三角形时， $AP$ 的长度约为　　 $cm$ ．

某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：

甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩 $x$

人数

部门

$40 ⩽ x ⩽ 49$

$50 ⩽ x ⩽ 59$

$60 ⩽ x ⩽ 69$

$70 ⩽ x ⩽ 79$

$80 ⩽ x ⩽ 89$

$90 ⩽ x ⩽ 100$

甲

0

1

11

7

1

乙

　1　

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀， $70 - - 79$ 分为生产技能良好， $60 - - 69$ 分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

解析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

部门	平均数	中位数	众数
甲	78.3	77.5	75
乙	78	80.5	81

得出结论： $a$ ．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　　； $b$ ．可以推断出　　部门员工的生产技能水平较高，理由为　　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $E$ 是 $AB$ 的中点，过点 $E$ 作 $EC ⊥ OA$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $CE$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $DB = DE$ ；

（2）若 $AB = 12$ ， $BD = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．